Курс представляет собой систематическое введение в фундаментальные разделы классической теории чисел. Цель курса — сформировать у студентов глубокое понимание арифметических свойств целых чисел, выработать навыки доказательства нетривиальных теорем и познакомить с базовыми прикладными аспектами дисциплины.
Структура и содержание:
1.Основы делимости. Наибольший общий делитель (алгоритм Евклида), основная теорема арифметики. Функции Эйлера, Мёбиуса, их свойства и приложения.
2.Теория сравнений. Кольцо вычетов по модулю. Китайская теорема об остатках и ее алгоритмическое применение. Теоремы Ферма и Эйлера.
3.Сравнения с неизвестными. Первообразные корни, индексы, квадратичные вычеты. Символ Лежандра и закон квадратичной взаимности.
4.Диофантовы уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Пелля. Методы решения нелинейных уравнений. Великая теорема Ферма (обзор истории и методов).
5.Введение в прикладные аспекты. Элементы криптографии с открытым ключом (RSA, алгоритм Диффи-Хеллмана). Проверка чисел на простоту (тест Миллера-Рабина). Разложение чисел на множители (обзор методов).
Структура и содержание:
1.Основы делимости. Наибольший общий делитель (алгоритм Евклида), основная теорема арифметики. Функции Эйлера, Мёбиуса, их свойства и приложения.
2.Теория сравнений. Кольцо вычетов по модулю. Китайская теорема об остатках и ее алгоритмическое применение. Теоремы Ферма и Эйлера.
3.Сравнения с неизвестными. Первообразные корни, индексы, квадратичные вычеты. Символ Лежандра и закон квадратичной взаимности.
4.Диофантовы уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Пелля. Методы решения нелинейных уравнений. Великая теорема Ферма (обзор истории и методов).
5.Введение в прикладные аспекты. Элементы криптографии с открытым ключом (RSA, алгоритм Диффи-Хеллмана). Проверка чисел на простоту (тест Миллера-Рабина). Разложение чисел на множители (обзор методов).